- Semestre(s) : s5
- 3.5 crédits ECTS
- Durée : 30 H
Mots clés :
algorithmes analyse numérique calcul scientifique simulation
Contact(s) :
- Antoine Henrot, Professeur
Pré-requis
Les mathématiques des classes préparatoires (quelle que soit la filière)
Objectif général
Ce cours est destiné à donner les bases de l’étude et de l’analyse de méthodes numériques utiles pour les sciences de l’ingénieur. Divers sujets seront abordés en cours magistral et mis en pratique lors de séances de travaux dirigés sous l’environnement Matlab. Des applications sur des problèmes concrets seront notamment développées afin de mettre en évidence l’importance de la maîtrise de la simulation numérique, de la théorie à la pratique, pour l’ingénieur.
Programme et contenu
Séance 1: les erreurs en analyse numérique
Les différents types d’erreurs. La propagation des erreurs (perte de chiffres significatifs, erreur de chute). Notion de conditionnement et de stabilité.
Séance 2: Interpolation et approximation des fonctions
Interpolation de Lagrange, formules de Newton (différences divisées). Formules d’erreur. Approximation uniforme et au sens des moindres carrés, fonctions splines cubiques.
Séance 3: Intégration et dérivation numérique
Méthodes composites du type Newton-Cotes et méthodes de Gauss. Analyse de l’erreur. Dérivation numérique et formule d’erreur. Application à la résolution d’équations aux dérivées partielles par des méthodes de différences finies.
Séances 4 et 5: Equations différentielles
Quelques rappels théoriques. Résolution numérique des équations différentielles : méthodes à un pas, explicites et implicites (Euler, Crank-Nicholson, Runge-Kutta). Méthodes multi-pas (Adams et ses variantes). Ajustement du pas. Notion de stabilité et convergence. Méthode de tir pour les problèmes aux limites.
Séance 6 et 7: résolution de systèmes linéaires
Méthodes directes : pivot de Gauss, factorisation LU et Choleski. Factorisation QR. Conditionnement d’une matrice et effet sur l’erreur. Méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation, Gradient conjugué avec ou sans préconditionnement). Convergence et comparaison des différentes méthodes.
Séance 8 et 9: Résolution d’équations non linéaires et optimisation
Les algorithmes classiques (dichotomie, sécante, Newton, point fixe) en dimension 1 et leur adaptation en dimension supérieure. L’étude de la convergence et la comparaison des algorithmes. Méthodes d’accélération de la convergence (Aitken, Steffensen). Optimisation sans contraintes, méthodes de gradient et gradient conjugué.
Compétences
- Connaître : Connaître et reconnaître les différentes situations qui conduisent à mettre en œuvre une méthode numérique. Connaître les formules d'erreur.
- Comprendre : Comprendre les erreurs commises quand on met en œuvre des méthodes numériques et être capable de les maîtriser.
- Appliquer : Être capable de choisir les méthodes les plus adéquates pour résoudre un problème donné.
- Analyser : Détecter et déduire les propriétés de certains phénomènes numériques à l'aide de raisonnements mathématiques.
- Synthétiser : Formuler et développer une réponse aux problèmes posés, organiser les résultats dans un tout cohérent, rigoureux et clair.
- Évaluer : Juger de la pertinence d'un résultat et de sa véracité. Valider la justesse d'une méthode et d'un raisonnement.
Evaluations :
- Test écrit
- Contrôle continu
- Rapport
