Équations aux dérivées partielles – GIMAS7AC

Programme et contenu

Introduction aux équations aux dérivées partielles elliptiques, paraboliques et hyperboliques. Exemples de l’équation de Laplace, de Poisson, équation de la chaleur, équation des ondes. Les différents types de conditions aux limites (Dirichlet, Neumann, Fourier, mixtes).

 Quelques méthodes de résolution explicites d’équations aux dérivées partielles. Les méthodes de variables séparables pour des géométries particulières (rectangle et parallélépipèdes, disque et boule, cylindres). Les problèmes de valeur propre auxquels ces méthodes conduisent. Utilisation de la transformée de Fourier.

 Outils pour l’étude des équations aux dérivées partielles : les espaces de Sobolev. Les différentes inégalités de Poincaré. Injections de Sobolev et injections compactes, applications. Trace d’une fonction.

 Formulation variationnelle des problèmes elliptiques. Le théorème de Lax-Milgram . Application aux différentes conditions aux limites. Théorèmes de régularité, notion de solution faible et forte. Exemples de l’opérateur de Laplace, de l’équation de Stokes, de l’équation des plaques.

Les différents principes du maximum. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques. Méthode de Galerkin. Problèmes d’évolution : cas de l’équation de la chaleur et de l’équation des ondes. Les résultats d’existence et de régularité. Comportement asymptotique.

Compétences

• Connaître : Être en mesure de reconnaître et différencier les différents modèles d'équations aux dérivées partielles, les différents types de conditions aux limites.
• Comprendre : Comprendre si le modèle décrit un système bien posé: existence, unicité, continuité par rapport aux données.
• Appliquer : Être capable d'écrire une formulation variationnelle pour être en mesure d'appliquer le théorème fondamental de Lax-Milgram.
• Analyser : Analyser cette formulation variationnelle pour pouvoir prouver le caractère bien posé du modèle.
• Synthétiser : Formuler et développer une réponse aux problèmes posés, organiser les résultats dans un tout cohérent, rigoureux et clair.
• Évaluer : Juger de la pertinence d'un résultat et de sa véracité. Valider la justesse d'un raisonnement.