Modélisation d’instruments de musique – CES7AK – CES9AM

Programme et contenu

Les instruments de musique sont un objet d’étude particulièrement intéressant: premièrement, ils demandent une modélisation physique non triviale (mécanique des milieux continus, lois de comportements solides et fluides, simplification et modélisation, etc) ; deuxièmement, ces équations font intervenir de nombreux phénomènes, simulation 1D (typiquement une corde), 2D (une peau, une table d’harmonie) et 3D (pour les vibrations de l’air). Les conditions aux limites, les équations de couplage sont souvent originales ; troisièmement, les calculs sont de suite compliqués : il faut faire au moins 44100 échantillonnage par seconde, avec un instrument qui se décrit par des centaines de points/vecteurs.

Nous disposons à Nancy des compétences sur les trois domaines scientifiques : en mécanique des fluides, physique du solide, Jean-Sébastien Kroll-Rabotin, en mathématiques, équation de propagation, Karim Ramdani et en informatique, moi-même.

Sur le plan de la physique, ce problème présente l’intérêt de fournir de multiples exemples d’applications de mécanique des milieux continus en mobilisant les connaissances abordées dans le cours de 1ère année correspondant mais une utilisation plus avancées (comportement des matériaux et modèles).

Dans le domaine des mathématiques, ce cours permettra d’étudier différentes équations aux dérivées partielles, issues des trois systèmes vibratoires (1D, 2D et 3D) impliqués dans la modélisation de la guitare. Les étudiants pourront ainsi aborder sur un problème concret un large éventail de questions et de techniques, aussi bien théoriques (caractère bien posé, analyse numérique,…) que numériques (différences finies, éléments finis, décomposition modale, conditions aux limites absorbantes,…).

Enfin, pour l’informatique, un tel cours nous permet d’aborder la question du calcul parallèle. Ce type de technique intervient dès lors que le temps de calcul devient une donnée primordiale. Nous nous appuyons sur les cartes graphiques des machines qui offrent un bon aperçu des difficultés de ce type de technique.

• Séance 1
  • Cours : La guitare, la corde, la table d’harmonie JSKR
  • TD : mise en place du langage C GB
• Séance 2
  • Cours : l’air et les conditions aux limites JSKR
  • TD : tableaux, boucles GB
• Séance 3
  • Cours : conditions de validité des équations JSKR
  • TD : pointeurs, allocations en mémoire
• Séance 4
  • Cours : rappels d’analyse mathématique (KR)
  • TD : modèle de la corde vibrante
• Séance 5
  • Cours : Théorème de Hille-Yosida, existence et unicité de la solution (KR)
  • TD : de la corde vibrante au son
• Séance 6
  • Cours : démarche pour obtenir un schéma de résolution, difficultés
  • TD : la corde sur la carte graphique
• Séance 7
  • Cours : Résolution de l’équation de la plaque
  • TD : discrétisation de la table d’harmonie
• Séance 8
  • Cours : Problèmes de stabilité
  • TD : écriture d’un schéma numérique pour la plaque
• Séance 9
  • Cours : Résolution de l’équation en 3D
  • TD : écriture du schéma numérique
• Séance 10
  • Cours/TD : mise en œuvre des équations de la plaque
• Séance 11
  • Cours/TD : mise en œuvre des équations de pression
• Séance 12
  • Cours/TD : production de son

Les étudiants sont notés par un contrôle continu et par une évaluation de leur production informatique et sur la qualité du rendu sonore de leur modélisation.

Compétences

• Connaître : Langage C, Cohérence et stabilité numérique: e.g. Théorème de Lax, EDPs d'un instrument de musique.
• Comprendre : Modélisation physique d'instrument de musique, Sémantique opérationnelle de C, Outils de vérifications des schémas numérique.
• Appliquer : Numérisation de problèmes physique à l'aide d'un langage de calcul intensif
• Analyser : Problèmes de stabilité numérique